Poisson過程とGamma分布 - 一日一膳(当社比)

Poisson過程

$\lambda > 0$ をパラメータとし， $X(t)$ が次の条件で与えられるPoisoon過程であるとします．

i. $X(0) = 0$

ii.独立増分性( independent increment)
任意の $0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < \cdots < t_{s}$ に対して
$X(t_{j}) - X(t_{j - 1}) \quad (j = 1, \ldots s )$ は独立である．

iii. 任意の $0 \le t < u$ に対して
$X(u) - X(t) \sim {\sf Poisson}(\lambda (u - t))$

$\lambda$ が次の事前分布に従うとします,
$\lambda \sim {\sf Gamma}(a, b), \quad a, b > 0.$
ただしここで ${\sf Gamma}(a, b)$ はガンマ分布でその確率密度関数は $\displaystyle{p(\lambda) = \frac{b ^{a} \lambda ^{a - 1} e ^{- b \lambda}}{\Gamma (a)}}.$ です．
この場合， $\lambda$ の事後分布は次のようになります．

$\tau_{1} < \tau_{2} < \cdots < \tau_{r}$ をイベント発生時刻とした場合の $\lambda$ の事後分布 $\lambda _{\text{posterior}}$ は次で与えられる
$\lambda _{\text{posterior}} \sim {\sf Gamma}(a + r, b + t_{r})$

(導出)
$p( \lambda _{\text{posterior}})$
$\propto p( \lambda ) p(X(\tau _{1}) = 1, X(\tau _{2}) = 2, \cdots, X(\tau _{r}) = r ~|~ \lambda)$
$= p( \lambda ) p(X(\tau _{1}) = 1, X(\tau _{2}) - X(\tau _{1}) = 1, \cdots, X(\tau _{r}) - X(\tau _{r - 1}) = 1 ~|~ \lambda)$
$\displaystyle{= p( \lambda) \prod _{j = 1}^{r}p(X(\tau _{j}) - X(\tau _{j - 1}) = 1 ~|~ \lambda) \quad (\tau _{0} := 0) }$
$\displaystyle{\propto p( \lambda) \prod _{j = 1}^{r} \lambda e^{- \lambda (\tau _{j} - \tau _{j - 1})}}$
$= p( \lambda) \lambda ^ {r} e^{ - \lambda t _{r}}$
$\propto \lambda ^{a + r - 1} e ^{- \lambda ( b + t _{r})}$
よって $\lambda _{\text{posterior}} \sim {\sf Gamma}(a + r, b + t _{r})$ がわかります．