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幾何ブラウン運動が対数正規分布に従うことの導出

統計学

目次

幾何ブラウン運動
導出

幾何ブラウン運動

幾何ブラウン運動は，確率過程の一つで株価の予測などに応用があります．幾何ブラウン運動は，各時刻において対数正規分布(対数とったら正規分布)に従いますが，今回はその導出を行いたいと思います．

幾何ブラウン運動( Geometric Brownian Motion)

次の確率微分方程式を満たす確率過程 $Z(t)$ を幾何ブラウン運動( Geometric Brownian Motion)という．

$d Z(t) = \mu Z(t) dt + \sigma Z(t) dB(t) \quad \cdots {\rm eq 1}$

,ただし $\mu, \sigma$ は実パラメータ， $B(t)$ は標準ブラウン運動であるとする．

f:id:kimigayoseishou:20190325231513p:plain — 幾何ブラウン運動のシミュレーション(mu = 0.7, sigma = 1)

$Z(t)$ が幾何ブラウン運動に従うとき，その解は次のように表せられる．

$\displaystyle{Z(t) = Z(0) \exp \Bigl( \Bigl( \mu - \frac{\sigma ^ 2}{2}\Bigr) t + \sigma B(t) \Bigr)} \quad \cdots {\rm eq 2}$

,ただし $B(t)$ は標準ブラウン運動であるとする．

導出

微分方程式 eq 1を差分で置き換える．

$Z(t + \Delta t) - Z(t) = \mu Z(t) \Delta t + \sigma Z(t) \Delta B(t)$

$\Delta B(t) = \sqrt{\Delta t} \epsilon (t), (\epsilon(t) \sim {\rm Normal}(0, 1)({\text i.i.d.}))$ より，

$Z(t + \Delta t) = (1 + \mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t)) Z(t).$

よって， $t = N \Delta t$ での値は

$\displaystyle{ Z(t) = Z(0) \prod^{N - 1} _{j = 0} (1 + \mu \Delta t +\sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j)) \cdots {\rm eq 3}}$

(ただし $t_j = j \Delta t$ .)

積記号を外すため，一旦logをとる．

$\log (1 + \mu \Delta t +\sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j))$

$= \displaystyle{(\mu \Delta t +\sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j)) - \frac{1}{2} ( \mu \Delta t +\sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j))^2}$

$= \displaystyle{ \Delta t \Bigl( \mu - \frac{1}{2} \sigma ^2 \epsilon(t_j) ^ 2\Bigr) + \sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j)}.$

logをとった．eq3より，

$\displaystyle{ Z(t)}$

$\displaystyle{ = Z(0) \prod ^{N - 1} _ {j = 0} \exp (\log (1 + \mu \Delta t +\sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j)))}$

$\displaystyle{ = Z(0) \prod ^{N - 1} _ {j = 0} \exp \Bigl( \Delta t \Bigl( \mu - \frac{1}{2} \sigma ^2 \epsilon(t_j) ^ 2\Bigr) + \sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j) \Bigr)}$

$\displaystyle{ = Z(0) \exp \Bigr\{ \sum_{j = 0} ^{N - 1} \Bigl( \Delta t \Bigl( \mu - \frac{1}{2} \sigma ^2 \epsilon(t_j) ^ 2\Bigr) + \sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j) \Bigr) \Bigr\}}$

$\displaystyle{ = Z(0) \exp \Bigr\{N \Delta t \mu - \frac{1}{2} \sigma ^ 2 \Delta t \sum_{j = 0} ^{N - 1} \epsilon(t_j) ^ 2 - \sigma \sum_{j = 0} ^{N - 1} \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j)\Bigr\} .}$

指数関数の中身について，第三項は， $N ightarrow infty$ のとき標準ブラウンに収束する．

また第二項は，大数の法則より次のように評価できる．

$\displaystyle{\frac{1}{2} \sigma ^ 2 \Delta t \sum_{j = 0} ^{N - 1} \epsilon(t_j) ^ 2}$

$\displaystyle{= \frac{1}{2} \sigma ^ 2 N \Delta t \cdot \frac{1}{N} \sum_{j = 0} ^{N - 1} \epsilon(t_j) ^ 2}$

$\displaystyle{ \sim \frac{1}{2} \sigma ^ 2 N \Delta t \cdot \mathbb{E} [ \epsilon ^ 2]} \quad (\epsilon \sim {\rm Normal}(0, 1))$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2} \sigma ^ 2 N \Delta t }$

ただし，確率変数 $X$ の期待値を $\mathbb{E} [ X ]$ で表している．

以上より，

$Z(t)$

$\displaystyle{ \sim Z(0) \exp \Bigr( N \Delta t \mu - \frac{1}{2} \sigma ^ 2 N \Delta t - \sum_{j = 0} ^{N - 1} \sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon(t_j)\Bigr)}$

$\displaystyle{ \rightarrow Z(0) \exp \Bigl( \Bigl( \mu - \frac{1}{2} \sigma ^ 2 \Bigr) t + \sigma B(t) \Bigr) \quad (N \rightarrow \infty.)}$

導出できました．

お疲れ様でした．