一日一膳(当社比)

RとJavaと時々数学

tr(AB) = tr(BA)を世界一回りくどく証明する方法

代数

\require{AMScd}

どうもこんにちは．今回の記事の内容は線形代数についての記事です．

線形代数で，次の公式は大体の教科書に載っていると思います．

A, Bを n次正方行列とするとき {\rm tr} (AB) = {\rm tr} (BA).

今回の記事では，この公式の可換図式を使った回りくどい証明を紹介します（笑）

トレースを思い出す

kを体， Vを k上有限次元の線形空間とする．

k-線形写像
\tau : V \otimes {\rm Hom}_k(V, k)  \rightarrow {\rm Hom} _k(V, V) を

\tau : v \otimes \phi \mapsto [ x \mapsto \phi(x) v ]

で定義する． Vが k上有限次元のとき， \tauは k上同型になる．

また， k-線形写像 {\sf eval} : V \otimes {\rm Hom}_k(V, k) \rightarrow kを

{\sf eval }(v \otimes \phi) = \phi (v)

で定義する．

定義 トレース(跡) {\rm tr}:{\rm Hom}_k(V, V) \rightarrow kを
{\sf eval} \circ \tau ^{-1} : {\rm Hom}_k(V, V) \rightarrow k
で定義する．

以下，次を証明します

f, g \in {\rm Hom}_k(V, V)とするとき，
{\rm tr } (f \circ g) = {\rm tr} (g \circ f)

ふつう教科書では，Vの基底を取って計算する証明が多いと思うけど，そうではない方法を紹介しましょう．

証明

補題I f ^{\ast} : {\rm Hom}_k(V, k) \rightarrow {\rm Hom}_k(V, k)を fの転置写像とする．このとき 次の可換図式が存在する．

\begin{CD} V \otimes {\rm Hom}_k(V, k) @>{f \otimes {\rm id}}>> V \otimes {\rm Hom}_k(V, k) \\ @V{{\rm id} \otimes f^\ast }VV @V{\sf eval}VV \\ V \otimes {\rm Hom}_k(V, k) @>{\sf eval}>> k \end{CD}

補題Iの証明 v \otimes \phi \in V \otimes {\rm Hom}_k(V, k)とするとき，
{\sf eval} \circ ({f \otimes {\rm id}}) (v \otimes \phi)
= {\sf eval} ( f(v) \otimes \phi)
= \phi(f(v))
= (f^{\ast} (\phi))(v)
= {\sf eval} ( v \otimes f^{\ast} (\phi) )
= ({\sf eval} \circ ({{\rm id} \otimes f^\ast })) (v \otimes \phi)
より示せた．

補題II
次の可換図式が存在する．
\begin{CD} V \otimes {\rm Hom}_k(V, k) @>\tau>> {\rm Hom}_k(V, V) \\ @V{f \otimes {\rm id}}VV @V{{\rm Hom}({\rm id}, f)}VV \\ V \otimes {\rm Hom}_k(V, k) @>\tau>> {\rm Hom}_k(V, V) \end{CD}

補題IIの証明
x \otimes \phi \in V \otimes {\rm Hom}_k(V, k)とすると，
(\tau \circ ({f \otimes {\rm id}})) (x \otimes \phi) (-)
= \tau(f(x) \otimes \phi) (-)
= \phi(-) f(x)
= f(\phi(-) x)
= ({\rm Hom}({\rm id}, f) \circ \tau )(x \otimes \phi)(-) より示せた．

補題III 次の可換図式が存在する．
\begin{CD} V \otimes {\rm Hom}_k(V, k) @>\tau>> {\rm Hom}_k(V, V) \\ @V{{\rm id} \otimes f ^{\ast}}VV @V{{\rm Hom}(f ^{\ast}, {\rm id})}VV \\ V \otimes {\rm Hom}_k(V, k) @>\tau>> {\rm Hom}_k(V, V) \end{CD}

補題IIIの証明
x \otimes \phi \in V \otimes {\rm Hom}_k(V, k)とすると，
({\rm Hom}(f ^{\ast}, {\rm id}) \circ \tau ) (x \otimes \phi ) (-)
= \tau(x \otimes \phi) ( f (-) )
= \phi ( f ( - ) ) x
= f ^{\ast} (\phi) (-) x
= \tau (x \otimes f^{\ast} (\phi)) (-)
= (\tau \circ ({\rm id} \otimes f ^{\ast}) ) (x \otimes \phi) (-)
より示せた．

以上で準備がととのいました．

命題
{\rm tr} \circ {\rm Hom}({\rm id}, f) = {\rm tr} \circ {\rm Hom}(f^\ast, {\rm id})
とくに， {\rm tr} (f \circ g) = {\rm tr} (g \circ f)

命題の証明

{\rm tr} \circ {\rm Hom}({\rm id}, f)
= ({\sf eval} \circ \tau ^{-1} ) \circ {\rm Hom}({\rm id}, f) \quad \text{(トレースの定義)}
= {\sf eval} \circ ( \tau ^{-1} \circ {\rm Hom}({\rm id}, f) )
= {\sf eval} \circ ( ( f \otimes {\rm id}) \circ \tau ^{-1} ) \quad \text{ (補題IIの力)}
{ = ({\sf eval} \circ ( f \otimes {\rm id}) ) \circ \tau ^{-1} }
{= ({\sf eval} \circ ({{\rm id} \otimes f ^{\ast} }) ) \circ \tau ^{-1} \quad \text{ (補題Iの力)} }
{= {\sf eval} \circ ( ({{\rm id} \otimes f ^{\ast} }) \circ \tau ^{-1} ) }
= {\sf eval } \circ ( \tau ^{-1} \circ {\rm Hom}(f^\ast, {\rm id})) \quad \text{ (補題IIIの力)}
= ({\sf eval } \circ \tau ^{-1}) \circ {\rm Hom}(f^\ast, {\rm id})
= {\rm tr} \circ {\rm Hom}(f^\ast, {\rm id})
よって示せました．