Dyson's Integralの特殊値を計算する

$$\newcommand{\optim}[1]{ \underset{#1}{\mathrm{arg \ min}} }$$

$$\newcommand{\torusInt}[1]{ \int_{\lbrack 0, 2 \pi \rbrack ^N} \frac{d {}^N #1}{(2 \pi)^N} }$$

Dyson's integral

今回のテーマは次のDyson integralと呼ばれる公式についてです．Wikipedia記事は，こちらを参照ください．

$\displaystyle{\torusInt{y} \prod_{1 \leq j \leq k \leq N, j \neq k} |e^{\sqrt{-1}y_j}-e^{\sqrt{-1}y_k}|^{2\eta} }$

$= \displaystyle{\frac{\Gamma (1 + \eta N )}{\Gamma (1+ \eta)^N}}.$

今回は，この積分の $\eta = 1$ の場合にあたるつぎの積分公式を証明します．

$N$ を2以上の自然数とするとき，

$\displaystyle{\torusInt{y} \prod_{1 \leq j \leq k \leq N, j \neq k} |e^{\sqrt{-1}y_j}-e^{\sqrt{-1}y_k}|^2 }$

$= N !$

2.証明

Perseval's Identity

まず手掛かりとなるのは，次のFourie級数論における事実です．

(Perseval's identity)

$f(y_1, \ldots, y_N)$ を $\lbrack 0, 2\pi \rbrack ^N$ 上の複素数値連続関数とする． $f$ のFourie係数 $c_\xi (\xi \in \mathbb{Z}^N)$ を

$\displaystyle{ c_\xi := \torusInt{y}f(y_1, \ldots, y_N) e^{-\sqrt{-1} \langle \xi, y \rangle} }$

とするとき，

$\displaystyle{\torusInt{y} |f(y_1, \ldots, y_N)|^2 = \sum_{\xi \in \mathbb{Z}^N} |c_{\xi}|^2}.$

$F(X_1, \ldots, X_N ) := \displaystyle{\prod_{1 \leq j \leq k \leq N, j \neq k} (X_j-X_k)}$

とおきます． $f(y_1, \ldots, y_N) = F(e^{\sqrt{-1}y_1}, \ldots, e^{\sqrt{-1}y_N})$ にPerseval's Identity を適用して，

$\displaystyle{\torusInt{y} \prod_{1 \leq j \leq k \leq N, j \neq k} |e^{\sqrt{-1}y_j}-e^{\sqrt{-1}y_k}|^2 }$

$= \displaystyle{ \sum_{\xi \in \mathbb{Z} ^N} | c_{\xi} | ^2}$

(ただし， $c_\xi$ は $f(y_1, \ldots, y_N)$ のFourie係数．)

となります．よって，示すべき等式は $f(y_1, \ldots, y_N)$ のFourie係数に関する考察に帰着します．しかし， $f(y_1, \ldots, y_N)$ のfourie係数 $c_{\xi}$ はただ単に $F(X_1, \ldots, X_N)$ の $X^\xi = \prod_{j =1, \ldots, N}X_j {}^{\xi_j}$ の係数に他なりません．