一日一膳(当社比)

よろしくお願いします。

トーラスのde Rham cohomology(part1)

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こんにちは。今日からトーラスのde Rhamコホモロジーの話をしようと思います。内容としては,(1)de Rham コホモロジーを導入し次に、(2)Fourie級数を復習、最後に(3)2次元トーラスのde Rham コホモロジーを計算という流れとなります。part1では(1),(2)を扱っていきます.

1.de Rham cohomology群
{\displaystyle X}を可微分多様体とします.
{\displaystyle k}を非負整数とし,{\displaystyle X}上の滑らかな{\displaystyle {\mathbb C}}{\displaystyle k}-formのなす線形空間{\displaystyle {\mathcal A}^k_X}で表します.外微分

{\displaystyle d^k: {\mathcal A}^k_X \rightarrow  {\mathcal A}^{k+1}_X}

{\displaystyle d^{k+1} \circ d^k=0}を満たしているので{\displaystyle 
\{  {\mathcal A}^k_X , d^k\}}は複体になります.
これのk次コホモロジー{\displaystyle \frac{{\rm Ker} \ d^k}{{\rm Im} \ d^{k-1}}}
{\displaystyle X}{\displaystyle {\sf de-Rham \ cohomology}}群といい
{\displaystyle H^k_{\rm dR}(X)}で表します.de Rham cohomology群を素直に計算するには,微分方程式を解けば良いことになります.

例えば,{\displaystyle X={\mathbb R}}の0次de Rhamコホモロジーならば、次のように計算できます.{\phi \in \displaystyle {\rm Ker }\ d^0}微分方程式{\displaystyle \frac{d\phi}{dx}=0}と同値で、その解空間は積分定数だけの自由度分あるから{\displaystyle {\mathbb C}}と同型.{\displaystyle {\rm Im} \ d^{-1}=0}と併せれば{\displaystyle H^0_{\rm dR}({\mathbb R})\cong {\mathbb C}}となります.さらに1次のde Rham cohomology群について,{\displaystyle {\rm Ker}\  d^1={\mathcal A}^1_X}であることがわかります.微分積分学の基本定理から,{\displaystyle {\rm Im} \ d^0={\mathcal A}_X^1}がわかりますから,{\displaystyle H^1_{\rm dR}({\mathbb R})\cong 0}が言えるのです.

次に{\displaystyle X={\mathbb T}^1}(円周)の場合を考えてみましょう.{\displaystyle {\mathbb T}^1={\mathbb R}/{\mathbb Z}}で,特に1次元トーラスとなっています.そのde Rhamコホモロジーを求めるのですから,トーラス上の微分方程式を解くことになります.それがFourie級数を導入するモチベーションとなります.

2.Fourie級数
トーラス上の関数を表示するツールとしてしばしば使われるのがFourie級数です.
{\displaystyle {\mathbb T}^1}上の滑らかな{\displaystyle {\mathbb C}}値関数{\displaystyle \phi(t)}に対する{\displaystyle {\sf Fourie} }級数を次で定める:

\begin{equation} \sum_{m \in {\mathbb Z}} \hat{\phi}(m)e^{2\pi \sqrt{-1}mt}\end{equation}

ここで{\displaystyle \hat{\phi}(m)}{\displaystyle {\sf Fourie}}係数というもので

{\displaystyle \hat{\phi}(m):=\int_{{\mathbb T}^1} dt \  \phi(t)e^{-2\pi \sqrt{-1}mt}}で与えられるものです.

定理:
{\displaystyle {\mathbb T}^1}上の滑らかな{\displaystyle {\mathbb C}}値関数{\displaystyle \phi(t)},および{\displaystyle r=0,1,2,\cdots }に対して

(1)\begin{equation} \phi^{(r)}(t)=\sum_{m \in {\mathbb Z}} (2\pi \sqrt{-1}m)^r\hat{\phi}(m)e^{2\pi \sqrt{-1}mt}\end{equation}
が成り立つ.

(2)対応{\displaystyle {\mathcal F}:\phi \mapsto \{ \hat{\phi} (m)\}_{m \in {\mathbb Z}}},は
{\displaystyle {\mathbb T}^1}上の滑らかな{\displaystyle {\mathbb C}}値関数全体のなす{\displaystyle {\mathbb C}}線形空間
{\displaystyle {\mathcal V}:=\{ \{ a_m \}_{m \in {\mathbb Z}} | a_m \in {\mathbb C}\ ,  a_m={\mathcal O}(|m|^{-h} )(^\forall h >0).\} }
との間の同型を導く.

上の主張は言い換えると次のようになります:
{\mathcal A}_{{\mathbb T}^1} 上の微分作用素\frac{d^r}{dt^r}はFourie変換を通してみると
{\mathcal V}上の対角行列

D:=\begin{bmatrix}
\ddots&&&&&&\\
&(2 \pi \sqrt{-1} (-2) )^r&&&&&\\
&&(2 \pi \sqrt{-1} (-1) )^r&&&&\\
&&&0&&&\\
&&&&(2 \pi \sqrt{-1} )^r&&\\
&&&&&(2 \pi \sqrt{-1} (2) )^r&\\
&&&&&&
\ddots
\end{bmatrix}
に対応する.

業界用語(?)で「Fourie変換で,微分が掛け算に変わる」ってやつです.それでは次回,上の主張を使って1次元トーラスのde Rham cohomology群を計算してみましょう.


同型{\displaystyle \nu:{\mathcal A}^0_{{\mathbb T}^1} \cong {\mathcal A}^1_{{\mathbb T}^1} , \phi \mapsto \phi dt}に注意しましょう.Fourie変換によって次の可換図式が得られます.

\begin{CD}
{\mathcal A}_{{\mathbb T}^1} ^0                 @>{d^0}>> {\mathcal A}_{{\mathbb T}^1} ^1@>{d^1}>>0\\
@V{\mathcal F}VV @VV{{\mathcal F}\circ \nu^{-1}}V 
@VV0V\\
{\mathcal V}@>D>> {\mathcal V}@>0>> 0

\end{CD}

\underline{H^0_{\rm dR}({\mathbb T}^1})
上の可換図式において,垂直方向は同型ですから,
{\displaystyle H^0_{\rm dR}({\mathbb T}^1) \cong {\rm Ker}\ D \cong {\mathbb C}}となります.

\underline{H^1_{\rm dR}({\mathbb T}^1})
これも可換図式から
{\displaystyle H^1_{\rm dR}({\mathbb T}^1) \cong {\rm Coker}\ D \cong {\mathbb C}}となります.

1次元トーラスのde Rham cohomologyが以上のようにFourie級数を使ってできました.次回は2次元トーラスの場合を実行します(続く).

線形代数のトレースの話をする。

みなさんこんにちは。きょうは、いつにもましてゆるふわな話です。線形代数で出てくる、トレースを基底を取らずに定義してみるのが目標です。
まずは、よくみる定義から。
(定義一)
{\displaystyle k}を体とし、{\displaystyle V}{\displaystyle k}上の{\displaystyle n}次元ベクトル空間とする。このとき線形写像{\displaystyle \phi:V\rightarrow V}のトレース{\displaystyle {\rm Tr}\phi}とは、
{\displaystyle \phi}の、ある基底に関する行列表示{\displaystyle \Phi }の対角成分の和{\displaystyle {\rm Tr}\Phi}のこととする。

長いですね。なお、行列のトレースは既知としました。行列のトレースについて,次の性質は重要です。
{\displaystyle A,B}{\displaystyle n}次正方行列ならば、
{\displaystyle {\rm Tr }(AB)={\rm Tr}(BA).}
これをつかえば、先ほどの線形写像のトレースが
well -definedなことが次のようにわかります。
基底の取り方を変えた場合,{\displaystyle \phi}の行列表示は,{\displaystyle \Phi \mapsto P^{-1}\Phi P}\ (^\exists P \in GL_n(k))と変わるが,そのとき
{\displaystyle {\rm Tr}(P^{-1}\Phi P)=
 {\rm Tr}(PP^{-1}\Phi )={\rm Tr}\Phi}で、基底の取り方によらない。

っていうのが,オードソックスなやり方なのですが,基底取りたくない時は次のようにしましょう。
(定義二)
つぎの同型に注意する:
{\begin{eqnarray}{\rm Hom}_k({\rm Hom}_k(V,V),k)&\simeq&{\rm Hom}(V^\ast \otimes _k V,k) \\ &\simeq&{\rm Hom}_k(V^\ast,{\rm Hom}_k(V,k))
\end{eqnarray}}最初の変形は、{\displaystyle V}の有限次元性を使っていて、2度目の変形はテンソル積と{\displaystyle {\rm Hom}}の随伴です。尚,{\displaystyle V^\ast}{\displaystyle V}の双対の略記です。いまこしらえた同型による,
{\displaystyle {\rm id} \in {\rm Hom}_k(V^\ast,{\rm Hom}_k(V,k))}の像でもってトレース
{\displaystyle {\rm Tr} \in {\rm Hom}_k({\rm Hom}_k(V,V),k)}とする。

定義二では、トレースそのものを基底を取らずに定義しています。これがいつものトレースと一致することを見るには,{\displaystyle {\rm Hom}}の変形を基底をとってやれば良いのです。

基底を取りたくない時は,ぜひ定義二を使ってみてください。

線形代数の演習

こんにちは。きょうは、線形代数の演習補助に行って来ました。こんな質問が生徒から出ました。
{\displaystyle X,Y}{\displaystyle n}次正方行列のとき、
{\displaystyle XY={\bf I}_n}ならば、
{\displaystyle X=Y^{-1}}
かどうか?
答えはもちろんYes.簡単な事実なので、いろいろやり方はあると思いますが、たとえば次のようにできます。ある{\displaystyle a_1,\cdots,a_r \in {\mathbb C}}が存在し{\displaystyle X^r+a_{1}X^{r-1}+\cdots +a_r{\bf I}_n={\bf O}}となる。
{\displaystyle Y^{r-1}}を右からかけて,{\displaystyle XY={\bf I}_n}を使えば
{\displaystyle X+a_{1}{\bf I}_n+\cdots +a_rY^{r-1}={\bf O}},とくに、{\displaystyle X,Y}は交換するから,証明終り。

Peter-Weylの定理とデルタ関数part2

part1の続き。part1では、Peter-Weylの定理を紹介しました。今回は、その証明をデルタ関数を使って行おうと思います。そのためにデルタ関数を導入しましょう。畳み込みから始めます。
{\displaystyle V:=\{ \phi:G \rightarrow {\mathbb C} \}}として、
{\displaystyle \psi ,\phi \in V}の畳み込み
{\displaystyle \psi \ast \phi \in V}
{\displaystyle \psi \ast \phi (g):=
\frac{1}{\# G}\sum_{g_1g_2=g}\psi (g_1)\phi(g_2)}
で定めます。
{\displaystyle V}は、この'積'{\displaystyle \ast}について{\displaystyle {\mathbb C}}-代数になるんです。単位元は何かと言いますと、それが
デルタ関数。定義は、
{\displaystyle \delta (g):=
\begin{cases}\# G & (g=1)\\ 0 & otherwise \end{cases}}
です。
で、畳み込みを何で持ち出したのかということですが、畳み込みで表現の重複度がわかります。

(命題)
{\displaystyle \rho _i :G\rightarrow GL(V_i)  (i=1,2)}を、{\displaystyle G}の表現、特に{\displaystyle \rho_2}は既約表現とします。さらにそいつらの指標を{\displaystyle \chi _i  ( i=1,2)}とします。そのとき、{\displaystyle \rho_1}における{\displaystyle \rho_2}の重複度は
{\displaystyle (\chi_1 \ast \chi_2)(1)}に一致する。

では、これを使ってPeter-Weylの定理を証明してみましょう。使うのは上の命題の他に、次の事実だけです:

事実:左正則表現の指標はデルタ関数である。

この事実は、当たり前といえば当たり前ですよね。では、大詰め。
(Peter-Weylの定理の証明)

{\displaystyle \rho}を既約表現とする。その指標を{\displaystyle \chi}とすると
左正則表現の{\displaystyle \rho}の重複度は、命題及び事実より{\displaystyle (\delta \ast \chi )(1)=\chi(1)={\rm deg} \rho}に等しい。(証明終)

Peter-Weylの定理と、デルタ関数part1

今期開講されている群論の授業でのこと。群論の授業に来ていた物理科の学生からの、面白い指摘があったから書いてみようと思います。テーマは、有限群の表現に関するもの。どういう指摘かというと、デルタ関数使うと、Peter-Weylの定理が出せるという指摘。準備に取り掛かります。 { \displaystyle
G
} が有限群のとき、 左正則表現を次で定義する: {\displaystyle V:=\{ \phi:G\rightarrow {\mathbb C}\}}上の表現で、 {\displaystyle \phi \in V ,g \in G }に対して、 {\displaystyle g.\phi (-):=\phi (g^{-1}(-))} で、{ \displaystyle
G} の表現が定まる。さて、主役であるPeter-Weylの定理は次の定理だ。

(Peter-Weyl) 左正則表現は、各既約表現{\displaystyle \rho}を、重複度{\displaystyle {\rm deg }\rho}だけ含む。

有名な系として、表現の次元を勘定すると得られるのが次の等式:

(Burnside) { \displaystyle G } が有限群のとき、

{ \displaystyle  \sharp G = \sum_{\rho} ({\rm deg } \rho) ^2 } なお、ここで和気号はすべての既約表現を渡ります。

さて、このPeter-Weylの定理が、デルタ関数の考え方で導けるというのが授業に来ていた物理屋さんの指摘なのですが、詳細は次回。