Hirzebruch's Riemann-Roch theorem とBorisov's formula(2)

今回記事は，前回記事で紹介した式

sonnamonyaro.hatenablog.com

${\sf Theorem}[ {\rm Borisov\ proposition2.2} ]$
$X$ を $n$ 次元コンパクト $K\overset{..}{a}hler$ 多様体とする． $\Omega_X$ で $X$ 上の正則微分形式の層をあらわす．整数 $p,q$ に対してHodge数を $h^{p,q}(X):={\rm dim}_\CC H^q(X,\Omega^p_X)$ とするとき，等式
$$ \sum_{p,q \in \ZZ}(-1)^{p+q}\Bigl(q-\frac{n}{2} \Bigr)^2h^{p,q}(X) $$
$$=\frac{1}{12}n \chi^{\rm top}(X)+\frac{1}{6}\int_Xc_1(X)\cup c_{n-1}(X),\quad (1)$$
が成り立つ，ここで $c_j(X)$ は接束 $TX$ の第 $j\text{-}$ chern類をあらわす．

の証明の後半となります．

${\sf Lemma}$
$X$ を $n$ 次元compact $K\overset{..}{a}hler$ 多様体とする．このとき，つぎの等式が成り立つ:
$\sum_{p,q\in \ZZ}(-1)^{p+q}\Bigl(q-\frac{n}{2}\Bigr)^2h^{p,q}(X)=\sum_{p,q\in \ZZ}q^2(-1)^{p+q}h^{p,q}(X)-\frac{n^2}{4}\chi^{{\rm top}}(X).$
${\sf proof}$
前回記事で示した等式
$$\sum_{p,q\in \ZZ}(-1)^{p+q}q\cdot h^{p,q}(X)=\frac{n}{2}\cdot \chi^{\rm top}(X),\quad \text{(1)}$$
を使えばよいです． $\square$

つぎに求めるべきは $\sum_{p,q\in \ZZ}q^2(-1)^{p+q}h^{p,q}(X)$ ですが，これは $\chi \text{-}y$ 種数を用いれば $-\diff{\Bigl(y\diff{\chi(X;y)} \Bigr)}\Bigr|_{y=-1}$
とかけます．これは，書き直すと $\frac{d^2}{d^2y}\chi(X;y)\Bigr|_{y=-1}+\Bigl\{\frac{n}{2}-\frac{n^2}{4}\Bigr\}\chi^{{\rm top}}(X)$ です．そこで， $\frac{d^2}{d^2y}\chi(X;y)\Bigr|_{y=-1}$ をHirzebruchのRiemann-Rochに持ち込みます．
${\sf Lemma}$
$X$ を $n$ 次元compact $K\overset{..}{a}hler$ 多様体とする．このとき，つぎの等式が成り立つ:
$\frac{d^2}{d^2y}\chi(X;y)\Bigr|_{y=-1}=\frac{1}{6}\coup{c_1\cup c_{n-1}}+\frac{1}{2}\binom{n}{2}\coup{c_n}\quad \text{(2)}.$
${\sf proof}$
$$\frac{d^2}{d^2y}{\rm td}_y(X)$$
$$=\sum^n_{i=1}Q(\gamma_1)\cdots \underbrace{\frac{d^2}{d^2y}Q(\gamma_i)}_{\text{ここだけ}} \cdots Q(\gamma_n)\Bigl|_{y=-1}$$
$$+\sum_{i\neq j}Q(\gamma_i)\cdots \underbrace{\pdiff{Q(\gamma_i)}}_{\text{ここだけ}} \cdots \underbrace{\pdiff{Q(\gamma_j)}}_{\text{ここだけ}}\cdots Q(\gamma_n)\Bigr|_{y=-1}$$
$$=\sum^n_{i=1}( 1+\gamma_1)\cdots \underbrace{\frac{1}{6}\gamma_i{}^2}_{\text{ここだけ}} \cdots ( 1+\gamma_n)$$
$$+\sum_{i\neq j}( 1+\gamma_i)\cdots \underbrace{\frac{-1}{2}\gamma_i}_{\text{ここだけ}} \cdots \underbrace{\frac{-1}{2}\gamma_j}_{\text{ここだけ}}\cdots ( 1+\gamma_n)$$
である．よって， $\frac{d^2}{d^2y}{\rm td}_y(X)$ の $H^{2n}(X;\QQ)$ の項は，
$$\frac{1}{6}( c_1(X)\cup c_{n-1}(X)-nc_n(X))+\frac{1}{2}\binom{n}{2}c_n(X)$$
HirzebruchのRiemann-Rochより，
$$\frac{d^2}{d^2y}\chi(X;y)\Bigr|_{y=-1}$$
$$=\Bigl\langle \[ X \] ,\frac{d^2}{d^2y}{\rm td}_y(X) \Bigr\rangle $$
なので，主張はしたがう． $\square$

Ligober=Wood,Borisovの式の証明

(1)(2)より，
$$\sum_{p,q\in \ZZ}(-1)^{p+q}\Bigl(q-\frac{n}{2}\Bigr)^2h^{p,q}(X)$$
$$=\sum_{p,q\in \ZZ}q^2(-1)^{p+q}h^{p,q}(X)-\frac{n^2}{4}\chi^{{\rm top}}(X),\quad \text{(1)より}$$
$$=\frac{1}{6}\coup{c_1\cup c_{n-1}}+\frac{1}{2}\binom{n}{2}\coup{c_n}-\frac{n^2}{4}\chi^{{\rm top}}(X)\quad \text{(2)より}$$
$$=\frac{1}{6}\int_Xc_1(X)\cup c_{n-1}(X)$$
$$+\Bigl\{ \frac{1}{2}\binom{n}{2}-\frac{n}{6}+\frac{n}{2}-\frac{n^2}{4}\Bigr\}\chi^{{\rm top}}(X)$$
$$=\frac{1}{12}n \chi^{\rm top}(X)+\frac{1}{6}\int_Xc_1(X)\cup c_{n-1}(X).\quad \square$$

一日一膳(当社比)

RとJavaと時々数学

Hirzebruch's Riemann-Roch theorem とBorisov's formula(2)