Hirzebruch's Riemann-Roch theorem とBorisov's formula(1)

$$\newcommand{\diff}[1]{\frac{d}{dy}#1} $$
$$\newcommand{\pdiff}[1]{\frac{\partial}{\partial y} #1} $$
今回から2回に分けて次の公式の導出を紹介したいと思います:
${\sf Theorem}[ {\rm Borisov\ proposition2.2} ]$
$X$ を $n$ 次元コンパクト $K\overset{..}{a}hler$ 多様体とする． $\Omega_X$ で $X$ 上の正則微分形式の層をあらわす．整数 $p,q$ に対してHodge数を $h^{p,q}(X):={\rm dim}_\CC H^q(X,\Omega^p_X)$ とするとき，等式
$$ \sum_{p,q \in \ZZ}(-1)^{p+q}\Bigl(q-\frac{n}{2} \Bigr)^2h^{p,q}(X) $$
$$=\frac{1}{12}n \chi^{\rm top}(X)+\frac{1}{6}\int_Xc_1(X)\cup c_{n-1}(X),\quad (1)$$
が成り立つ，ここで $c_j(X)$ は接束 $TX$ の第 $j\text{-}$ chern類をあらわす．

$\chi_y$ 種数

${\sf definition}[{\rm Hir}15.5.$ ]
$X$ を $n$ 次元compact複素多様体とする．このとき不定元 $y$ に関する多項式 $\chi(X;y)$ を次で定める:
$$\chi(X;y)=\sum_{p\in \ZZ}\chi^{\rm hol}(\Omega_X^p)y^p.$$
このとき $\chi(X;y)$ を $\chi_y\text{-}{\bf \text{種数}}$ という．
正則Euler数の定義から
$$\chi(X;y)$$
$$=\sum_{p\in \ZZ}\chi^{\rm hol}(\Omega_X^p)y^p$$
$$=\sum_{p\in \ZZ}\sum_{q \in \ZZ}(-1)^q{\rm dim}_\CC H^q(X,\Omega_X^p)y^p$$
$$=\sum_{p,q\in \ZZ}(-1)^qh^{p,q}y^p,\quad \text{(2)}$$とかくことができる．<\p>

${\sf Proposition}[{\rm Hir}15.8.$ ]
$X$ がcompact $K\overset{..}{a}hler$ 多様体であるとする． $\chi(X;y)$ の引数として $-1$ を選ぶと，その値は $X$ の位相的Euler数になる:
$$\chi(X;-1)=\chi^{\rm top}(X),\quad (3).$$

$X$ がcompact $K\overset{..}{a}hler$ 多様体ならば，Hodge分解により等式
$${\rm dim}_{\CC}H_{\rm dR}^j(X;\CC)=\sum_{p+q=j}h^{p,q}(X)$$
，( $H_{\rm dR}^j(X;\CC)$ は $X$ の複素係数de Rham cohomology群)がなりたつ．
これ用いて次のように変形すればよい:
$$\chi(X;-1)$$
$$=\sum_{p,q\in \ZZ}(-1)^{p+q}h^{p,q}(X)$$
$$=\sum_{j\in \ZZ} (-1)^j\sum_{p+q=j} h^{p,q}(X)$$
$$=\sum_{j\in \ZZ}(-1)^j{\rm dim}_{\CC}H_{\rm dR}^j(X;\CC)$$
$$=\chi^{\rm top}(X) .\quad \square$$

${\sf Example}$
複素射影空間 $\CC \PP^n$ について，その $\chi_y\text{-}$ 種数はつぎのようにもとまる．
$\CC \PP^n$ のHodge数はつぎのようになる
$$h^{p,q}(\CC\PP^n)=\begin{cases}1 &(0 \leq p=q\leq n)\\0 &(\text{otherwise})\end{cases}. $$
よって(2)より
$$\chi(\CC\PP^n;y)=\sum_{q=0}^n(-1)^qy^q=\frac{1-(-y)^{n+1}}{1+y}.$$

一般Todd種数

$X$ を向き付けられた実 $2n$ 次元微分可能多様体に対して $H^i(X;\QQ)$ を $i$ 次
係数コホモロジー群とする．cup積
$$ \cup:(a,b)\mapsto a\cup b\in H^{i+j}(X;\QQ),\quad a\in H^i(X;\QQ),b\in H^j(X;\QQ) $$
を考えると $H^{\text{even}}(X;\QQ)=\underset{i\in 2\ZZ}{\bigoplus }H^{i}(X;\QQ)$ は $\ZZ$ 次数つき可換 $\QQ\text{-}$ 代数になる． $X$ の向きから定まる基本類 $[X]\in H_{2n}(X;\QQ)$ との $a\in H^{2n}(X;\QQ)$ とのカップリングを $\coup{a}\in \QQ$ とかく．
${\sf definition}$
$X$ を $n$ 次元compact複素多様体とし，複素構造から誘導された向きをあたえる． $X$ の正則接束 $TX$ の第 $i$ chern類 $(i=0,\ldots,n)$ を $c_i\in H^{2i}(X;\QQ)$ であらわす．chern root $\gamma_i,\ldots,\gamma_n\in H^2(X;\QQ)$ を関係式
$$(1+\gamma_1)\cdots(1+\gamma_n)=1+c_1+\cdots+c_n$$
で定めておく．
$\QQ [y$ ]を係数環にもつ冪級数環 $R:=(\QQ [ y] )[ [ w] ]$ の元
$$Q(y;w):=\frac{w(1+y)}{1-\expo{-w(1+y)}}-yw \in R$$
を用いて $X$ の ${\bf \text{一般化} Todd\text{種数}}$ を多項式
$$\text{Td}(X;y):=\coup{\text{td}_y(X)}\in \QQ[y],$$

$$\text{ただし},\quad \text{td}_y(X):=Q(\gamma_1)\cdots Q(\gamma_n)$$
で定義する．

Hirzebruch genera of R-R theorem

定理(1)の証明に使う次の定理を紹介する
${\sf theorem}[{\rm Hir}21.3.$ ]
$X$ を射影的複素多様体とする．このとき，
$${\rm Td}(X;y)=\chi(X;y).$$
この定理の証明はここではしないです．しないです．

$y=-1$ のとき，(3)より $\chi^{\rm top}(X)={\rm Td}(X,-1)=\coup{c_{\text{dim}_\CC X}}$ となる．これは， $X$ に対するGauss-Bonne-Chernの公式である．

定理(1)の証明(前編)

さて定理(1)の証明に入る．
${\sf Lemma}$
$X$ を $n$ 次元compact $K\overset{..}{a}hler$ 多様体とする．このとき，つぎの等式が成り立つ:
$$\sum_{p,q\in \ZZ}(-1)^{p+q}q\cdot h^{p,q}(X)=\frac{n}{2}\cdot \chi^{\rm top}(X).$$
${\sf proof}$
$Q(y;w)$ を $y=-1$ で展開すると，
$$Q(y;w)$$
$$=\Bigl\{ 1+\frac{(1+y)}{\expo{(1+y)w}-1}\Bigr\}\cdot w $$
$$=\Bigl\{1+ \frac{1}{w}\Bigl( 1-\frac{(1+y)w}{2}+\frac{(1+y)^2w^2}{12}+O((1+y)^3)\Bigr)\Bigr\}\cdot w $$
$$=1+w-\frac{(1+y)w}{2}+\frac{(1+y)^2w^2}{12}+O((1+y)^3)$$
である．よって，
$$\diff{\text{td}_y}(X)\Bigr|_{y=-1}$$
$$=\sum_{j=1}^nQ(-1;\gamma_1)\cdots \underbrace{\pdiff{Q(y;\gamma_j)}}_{\text{ここだけ}}\Bigr|_{y=-1}\cdots Q(-1;\gamma_n)$$
$$=-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n(1+\gamma_1)\cdots \underbrace{\gamma_j}_{\text{ここだけ}} \cdots (1+\gamma_n)$$
となる．せやから
$$\diff{\chi(X;y)}\Bigr|_{y=-1}$$

$$=\Bigl\langle \[ X \] {}_,\diff{ {\rm td}_y }(X) \Bigr| _{y=-1} \Bigr\rangle $$

$$=-\frac{1}{2}\Bigl\langle \[ X \] {}_,\sum_{j=1}^n(1+\gamma_1)\cdots \underbrace{\gamma_j}_{\text{ここだけ}}\cdots (1+\gamma_n)\Bigr\rangle$$

$$=-\frac{1}{2}n\cdot \coup{\gamma_1\cdots\gamma_n}$$
$$=-\frac{n}{2}\cdot \chi^{\text{top}}(X)$$
がわかる．
$$\diff{\chi(X;-1)}\Bigr|_{y=-1}=-\sum_{p,q\in \ZZ}(-1)^{p+q}q\cdot h^{p,q}(X)$$
なのでえた． $\square$
今日のところはここまでとします(・ $\omega$ ・)/