トーラスのde Rham cohomology(part1)

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こんにちは。今日からトーラスのde Rhamコホモロジーの話をしようと思います。内容としては,(1)de Rham コホモロジーを導入し次に、(2)Fourie級数を復習、最後に(3)2次元トーラスのde Rham コホモロジーを計算という流れとなります。part1では(1),(2)を扱っていきます.

1.de Rham cohomology群
$X$ を可微分多様体とします.
$k$ を非負整数とし, $X$ 上の滑らかな ${\mathbb C}$ 値 $k$ -formのなす線形空間を ${\mathcal A}^k_X$ で表します.外微分

$d^k: {\mathcal A}^k_X \rightarrow {\mathcal A}^{k+1}_X$

は $d^{k+1} \circ d^k=0$ を満たしているので $\{ {\mathcal A}^k_X , d^k\}$ は複体になります.
これのk次コホモロジー群 $\frac{{\rm Ker} \ d^k}{{\rm Im} \ d^{k-1}}$
を $X$ の ${\sf de-Rham \ cohomology}$ 群といい
$H^k_{\rm dR}(X)$ で表します.de Rham cohomology群を素直に計算するには,微分方程式を解けば良いことになります.

例えば, $X={\mathbb R}$ の0次de Rhamコホモロジーならば、次のように計算できます. ${\phi \in \displaystyle {\rm Ker }\ d^0}$ は微分方程式 $\frac{d\phi}{dx}=0$ と同値で、その解空間は積分定数だけの自由度分あるから ${\mathbb C}$ と同型. ${\rm Im} \ d^{-1}=0$ と併せれば $H^0_{\rm dR}({\mathbb R})\cong {\mathbb C}$ となります.さらに1次のde Rham cohomology群について, ${\rm Ker}\ d^1={\mathcal A}^1_X$ であることがわかります.微分積分学の基本定理から, ${\rm Im} \ d^0={\mathcal A}_X^1$ がわかりますから, $H^1_{\rm dR}({\mathbb R})\cong 0$ が言えるのです.

次に $X={\mathbb T}^1$ (円周)の場合を考えてみましょう. ${\mathbb T}^1={\mathbb R}/{\mathbb Z}$ で,特に1次元トーラスとなっています.そのde Rhamコホモロジーを求めるのですから,トーラス上の微分方程式を解くことになります.それがFourie級数を導入するモチベーションとなります.

2.Fourie級数
トーラス上の関数を表示するツールとしてしばしば使われるのがFourie級数です.
${\mathbb T}^1$ 上の滑らかな ${\mathbb C}$ 値関数 $\phi(t)$ に対する ${\sf Fourie}$ 級数を次で定める:

$\begin{equation} \sum_{m \in {\mathbb Z}} \hat{\phi}(m)e^{2\pi \sqrt{-1}mt}\end{equation}$

ここで $\hat{\phi}(m)$ ${\sf Fourie}$ 係数というもので

$\hat{\phi}(m):=\int_{{\mathbb T}^1} dt \ \phi(t)e^{-2\pi \sqrt{-1}mt}$ で与えられるものです.

定理:
${\mathbb T}^1$ 上の滑らかな ${\mathbb C}$ 値関数 $\phi(t)$ ,および $r=0,1,2,\cdots$ に対して

(1) $\begin{equation} \phi^{(r)}(t)=\sum_{m \in {\mathbb Z}} (2\pi \sqrt{-1}m)^r\hat{\phi}(m)e^{2\pi \sqrt{-1}mt}\end{equation}$
が成り立つ.

(2)対応 ${\mathcal F}:\phi \mapsto \{ \hat{\phi} (m)\}_{m \in {\mathbb Z}}$ ,は
${\mathbb T}^1$ 上の滑らかな ${\mathbb C}$ 値関数全体のなす ${\mathbb C}$ 線形空間と
${\mathcal V}:=\{ \{ a_m \}_{m \in {\mathbb Z}} | a_m \in {\mathbb C}\ , a_m={\mathcal O}(|m|^{-h} )(^\forall h >0).\}$
との間の同型を導く.

上の主張は言い換えると次のようになります:
${\mathcal A}_{{\mathbb T}^1}$ 上の微分作用素 $\frac{d^r}{dt^r}$ はFourie変換を通してみると
${\mathcal V}$ 上の対角行列

$D:=\begin{bmatrix} \ddots&&&&&&\\ &(2 \pi \sqrt{-1} (-2) )^r&&&&&\\ &&(2 \pi \sqrt{-1} (-1) )^r&&&&\\ &&&0&&&\\ &&&&(2 \pi \sqrt{-1} )^r&&\\ &&&&&(2 \pi \sqrt{-1} (2) )^r&\\ &&&&&& \ddots \end{bmatrix}$
に対応する.

業界用語(?)で「Fourie変換で,微分が掛け算に変わる」ってやつです.それでは次回,上の主張を使って1次元トーラスのde Rham cohomology群を計算してみましょう.

同型 $\nu:{\mathcal A}^0_{{\mathbb T}^1} \cong {\mathcal A}^1_{{\mathbb T}^1} , \phi \mapsto \phi dt$ に注意しましょう.Fourie変換によって次の可換図式が得られます.

$\begin{CD} {\mathcal A}_{{\mathbb T}^1} ^0 @>{d^0}>> {\mathcal A}_{{\mathbb T}^1} ^1@>{d^1}>>0\\ @V{\mathcal F}VV @VV{{\mathcal F}\circ \nu^{-1}}V @VV0V\\ {\mathcal V}@>D>> {\mathcal V}@>0>> 0 \end{CD}$