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トーラスのde Rham cohomology(part1)

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こんにちは。今日からトーラスのde Rhamコホモロジーの話をしようと思います。内容としては,(1)de Rham コホモロジーを導入し次に、(2)Fourie級数を復習、最後に(3)2次元トーラスのde Rham コホモロジーを計算という流れとなります。part1では(1),(2)を扱っていきます.

1.de Rham cohomology群
{\displaystyle X}を可微分多様体とします.
{\displaystyle k}を非負整数とし,{\displaystyle X}上の滑らかな{\displaystyle {\mathbb C}}{\displaystyle k}-formのなす線形空間{\displaystyle {\mathcal A}^k_X}で表します.外微分

{\displaystyle d^k: {\mathcal A}^k_X \rightarrow  {\mathcal A}^{k+1}_X}

{\displaystyle d^{k+1} \circ d^k=0}を満たしているので{\displaystyle 
\{  {\mathcal A}^k_X , d^k\}}は複体になります.
これのk次コホモロジー{\displaystyle \frac{{\rm Ker} \ d^k}{{\rm Im} \ d^{k-1}}}
{\displaystyle X}{\displaystyle {\sf de-Rham \ cohomology}}群といい
{\displaystyle H^k_{\rm dR}(X)}で表します.de Rham cohomology群を素直に計算するには,微分方程式を解けば良いことになります.

例えば,{\displaystyle X={\mathbb R}}の0次de Rhamコホモロジーならば、次のように計算できます.{\phi \in \displaystyle {\rm Ker }\ d^0}微分方程式{\displaystyle \frac{d\phi}{dx}=0}と同値で、その解空間は積分定数だけの自由度分あるから{\displaystyle {\mathbb C}}と同型.{\displaystyle {\rm Im} \ d^{-1}=0}と併せれば{\displaystyle H^0_{\rm dR}({\mathbb R})\cong {\mathbb C}}となります.さらに1次のde Rham cohomology群について,{\displaystyle {\rm Ker}\  d^1={\mathcal A}^1_X}であることがわかります.微分積分学の基本定理から,{\displaystyle {\rm Im} \ d^0={\mathcal A}_X^1}がわかりますから,{\displaystyle H^1_{\rm dR}({\mathbb R})\cong 0}が言えるのです.

次に{\displaystyle X={\mathbb T}^1}(円周)の場合を考えてみましょう.{\displaystyle {\mathbb T}^1={\mathbb R}/{\mathbb Z}}で,特に1次元トーラスとなっています.そのde Rhamコホモロジーを求めるのですから,トーラス上の微分方程式を解くことになります.それがFourie級数を導入するモチベーションとなります.

2.Fourie級数
トーラス上の関数を表示するツールとしてしばしば使われるのがFourie級数です.
{\displaystyle {\mathbb T}^1}上の滑らかな{\displaystyle {\mathbb C}}値関数{\displaystyle \phi(t)}に対する{\displaystyle {\sf Fourie} }級数を次で定める:

\begin{equation} \sum_{m \in {\mathbb Z}} \hat{\phi}(m)e^{2\pi \sqrt{-1}mt}\end{equation}

ここで{\displaystyle \hat{\phi}(m)}{\displaystyle {\sf Fourie}}係数というもので

{\displaystyle \hat{\phi}(m):=\int_{{\mathbb T}^1} dt \  \phi(t)e^{-2\pi \sqrt{-1}mt}}で与えられるものです.

定理:
{\displaystyle {\mathbb T}^1}上の滑らかな{\displaystyle {\mathbb C}}値関数{\displaystyle \phi(t)},および{\displaystyle r=0,1,2,\cdots }に対して

(1)\begin{equation} \phi^{(r)}(t)=\sum_{m \in {\mathbb Z}} (2\pi \sqrt{-1}m)^r\hat{\phi}(m)e^{2\pi \sqrt{-1}mt}\end{equation}
が成り立つ.

(2)対応{\displaystyle {\mathcal F}:\phi \mapsto \{ \hat{\phi} (m)\}_{m \in {\mathbb Z}}},は
{\displaystyle {\mathbb T}^1}上の滑らかな{\displaystyle {\mathbb C}}値関数全体のなす{\displaystyle {\mathbb C}}線形空間
{\displaystyle {\mathcal V}:=\{ \{ a_m \}_{m \in {\mathbb Z}} | a_m \in {\mathbb C}\ ,  a_m={\mathcal O}(|m|^{-h} )(^\forall h >0).\} }
との間の同型を導く.

上の主張は言い換えると次のようになります:
{\mathcal A}_{{\mathbb T}^1} 上の微分作用素\frac{d^r}{dt^r}はFourie変換を通してみると
{\mathcal V}上の対角行列

D:=\begin{bmatrix}
\ddots&&&&&&\\
&(2 \pi \sqrt{-1} (-2) )^r&&&&&\\
&&(2 \pi \sqrt{-1} (-1) )^r&&&&\\
&&&0&&&\\
&&&&(2 \pi \sqrt{-1} )^r&&\\
&&&&&(2 \pi \sqrt{-1} (2) )^r&\\
&&&&&&
\ddots
\end{bmatrix}
に対応する.

業界用語(?)で「Fourie変換で,微分が掛け算に変わる」ってやつです.それでは次回,上の主張を使って1次元トーラスのde Rham cohomology群を計算してみましょう.


同型{\displaystyle \nu:{\mathcal A}^0_{{\mathbb T}^1} \cong {\mathcal A}^1_{{\mathbb T}^1} , \phi \mapsto \phi dt}に注意しましょう.Fourie変換によって次の可換図式が得られます.

\begin{CD}
{\mathcal A}_{{\mathbb T}^1} ^0                 @>{d^0}>> {\mathcal A}_{{\mathbb T}^1} ^1@>{d^1}>>0\\
@V{\mathcal F}VV @VV{{\mathcal F}\circ \nu^{-1}}V 
@VV0V\\
{\mathcal V}@>D>> {\mathcal V}@>0>> 0

\end{CD}

\underline{H^0_{\rm dR}({\mathbb T}^1})
上の可換図式において,垂直方向は同型ですから,
{\displaystyle H^0_{\rm dR}({\mathbb T}^1) \cong {\rm Ker}\ D \cong {\mathbb C}}となります.

\underline{H^1_{\rm dR}({\mathbb T}^1})
これも可換図式から
{\displaystyle H^1_{\rm dR}({\mathbb T}^1) \cong {\rm Coker}\ D \cong {\mathbb C}}となります.

1次元トーラスのde Rham cohomologyが以上のようにFourie級数を使ってできました.次回は2次元トーラスの場合を実行します(続く).