一日一膳(当社比)

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線形代数の演習

こんにちは。きょうは、線形代数の演習補助に行って来ました。こんな質問が生徒から出ました。
{\displaystyle X,Y}{\displaystyle n}次正方行列のとき、
{\displaystyle XY={\bf I}_n}ならば、
{\displaystyle X=Y^{-1}}
かどうか?
答えはもちろんYes.簡単な事実なので、いろいろやり方はあると思いますが、たとえば次のようにできます。ある{\displaystyle a_1,\cdots,a_r \in {\mathbb C}}が存在し{\displaystyle X^r+a_{1}X^{r-1}+\cdots +a_r{\bf I}_n={\bf O}}となる。
{\displaystyle Y^{r-1}}を右からかけて,{\displaystyle XY={\bf I}_n}を使えば
{\displaystyle X+a_{1}{\bf I}_n+\cdots +a_rY^{r-1}={\bf O}},とくに、{\displaystyle X,Y}は交換するから,証明終り。