線形代数の演習 - 一日一膳(当社比)

こんにちは。きょうは、線形代数の演習補助に行って来ました。こんな質問が生徒から出ました。
$X,Y$ が $n$ 次正方行列のとき、
$XY={\bf I}_n$ ならば、
$X=Y^{-1}$
かどうか？
答えはもちろんYes.簡単な事実なので、いろいろやり方はあると思いますが、たとえば次のようにできます。ある $a_1,\cdots,a_r \in {\mathbb C}$ が存在し $X^r+a_{1}X^{r-1}+\cdots +a_r{\bf I}_n={\bf O}$ となる。
$Y^{r-1}$ を右からかけて, $XY={\bf I}_n$ を使えば
$X+a_{1}{\bf I}_n+\cdots +a_rY^{r-1}={\bf O}$ ,とくに、 $X,Y$ は交換するから,証明終り。