Peter-Weylの定理とデルタ関数part2

part1の続き。part1では、Peter-Weylの定理を紹介しました。今回は、その証明をデルタ関数を使って行おうと思います。そのためにデルタ関数を導入しましょう。畳み込みから始めます。
$V:=\{ \phi:G \rightarrow {\mathbb C} \}$ として、
$\psi ,\phi \in V$ の畳み込み
$\psi \ast \phi \in V$ を
${\displaystyle \psi \ast \phi (g):= \frac{1}{\# G}\sum_{g_1g_2=g}\psi (g_1)\phi(g_2)}$
で定めます。
$V$ は、この'積' $\ast$ について ${\mathbb C}$ -代数になるんです。単位元は何かと言いますと、それが
デルタ関数。定義は、
${\displaystyle \delta (g):= \begin{cases}\# G & (g=1)\\ 0 & otherwise \end{cases}}$
です。
で、畳み込みを何で持ち出したのかということですが、畳み込みで表現の重複度がわかります。

(命題)
$\rho _i :G\rightarrow GL(V_i) (i=1,2)$ を、 $G$ の表現、特に $\rho_2$ は既約表現とします。さらにそいつらの指標を $\chi _i ( i=1,2)$ とします。そのとき、 $\rho_1$ における $\rho_2$ の重複度は
$(\chi_1 \ast \chi_2)(1)$ に一致する。