2017-05-02

線形代数の演習

こんにちは。きょうは、線形代数の演習補助に行って来ました。こんな質問が生徒から出ました。
$X,Y$ が $n$ 次正方行列のとき、
$XY={\bf I}_n$ ならば、
$X=Y^{-1}$
かどうか？
答えはもちろんYes.簡単な事実なので、いろいろやり方はあると思いますが、たとえば次のようにできます。ある $a_1,\cdots,a_r \in {\mathbb C}$ が存在し $X^r+a_{1}X^{r-1}+\cdots +a_r{\bf I}_n={\bf O}$ となる。
$Y^{r-1}$ を右からかけて, $XY={\bf I}_n$ を使えば
$X+a_{1}{\bf I}_n+\cdots +a_rY^{r-1}={\bf O}$ ,とくに、 $X,Y$ は交換するから,証明終り。

2017-04-30

Peter-Weylの定理とデルタ関数part2

代数

part1の続き。part1では、Peter-Weylの定理を紹介しました。今回は、その証明をデルタ関数を使って行おうと思います。そのためにデルタ関数を導入しましょう。畳み込みから始めます。
$V:=\{ \phi:G \rightarrow {\mathbb C} \}$ として、
$\psi ,\phi \in V$ の畳み込み
$\psi \ast \phi \in V$ を
${\displaystyle \psi \ast \phi (g):= \frac{1}{\# G}\sum_{g_1g_2=g}\psi (g_1)\phi(g_2)}$
で定めます。
$V$ は、この'積' $\ast$ について ${\mathbb C}$ -代数になるんです。単位元は何かと言いますと、それが
デルタ関数。定義は、
${\displaystyle \delta (g):= \begin{cases}\# G & (g=1)\\ 0 & otherwise \end{cases}}$
です。
で、畳み込みを何で持ち出したのかということですが、畳み込みで表現の重複度がわかります。

(命題)
$\rho _i :G\rightarrow GL(V_i) (i=1,2)$ を、 $G$ の表現、特に $\rho_2$ は既約表現とします。さらにそいつらの指標を $\chi _i ( i=1,2)$ とします。そのとき、 $\rho_1$ における $\rho_2$ の重複度は
$(\chi_1 \ast \chi_2)(1)$ に一致する。

では、これを使ってPeter-Weylの定理を証明してみましょう。使うのは上の命題の他に、次の事実だけです:

事実:左正則表現の指標はデルタ関数である。

この事実は、当たり前といえば当たり前ですよね。では、大詰め。
(Peter-Weylの定理の証明)

$\rho$ を既約表現とする。その指標を $\chi$ とすると
左正則表現の $\rho$ の重複度は、命題及び事実より $(\delta \ast \chi )(1)=\chi(1)={\rm deg} \rho$ に等しい。(証明終)

2017-04-30

Peter-Weylの定理と、デルタ関数part1

代数

今期開講されている群論の授業でのこと。群論の授業に来ていた物理科の学生からの、面白い指摘があったから書いてみようと思います。テーマは、有限群の表現に関するもの。どういう指摘かというと、デルタ関数使うと、Peter-Weylの定理が出せるという指摘。準備に取り掛かります。 ${ \displaystyle G }$ が有限群のとき、左正則表現を次で定義する: $V:=\{ \phi:G\rightarrow {\mathbb C}\}$ 上の表現で、 $\phi \in V ,g \in G$ に対して、 $g.\phi (-):=\phi (g^{-1}(-))$ で、 $G$ の表現が定まる。さて、主役であるPeter-Weylの定理は次の定理だ。